Question

已知点，圆：与椭圆：有一个公共点，分别是椭圆的左、右焦点，直线与圆相切．

（Ⅰ）求的值与椭圆的方程.

（Ⅱ）设为椭圆上的一个动点，求的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，

       得．∵m＜3，∴m＝1． 圆C：．-----------1分

设直线PF₁的斜率为k，则PF₁：，即．

∵直线PF₁与圆C相切，∴．

解得． ---------------------2分

当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为－4，

∴c＝4．F₁（－4，0），F₂（4，0）．            ----------------------------- 4分

2a＝AF₁＋AF₂＝，，a²＝18，b²＝2．

椭圆E的方程为：．                ----------------------------6分2

（Ⅱ），设Q（x，y），，

．          --------------------------8分

∵，即，

而，∴－18≤6xy≤18．    

则的取值范围是[0，36]． -------------------10分

的取值范围是[－6，6]．

∴的取值范围是[－12，0]．  ---------------------------12分