Question

某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50＜x≤80时，每天售出的件数P＝，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？

Answer 1

解法一：设销售价定为每件x元(50＜x≤80).

每天获得利润y元，则y＝(x－50)·P＝.

设x－50＝t，则0＜t≤30，

∴y＝＝≤＝2500.

当且仅当t=10，即x＝60时，y_max＝2500.

答：每件60元时，每天获利最多，最多是2500元.

解法二：求y＝的最大值，还可转化为二次函数的最大值问题解之.

令＝t，∵10＜x－40≤40，∴≤t＜.

y＝＝10⁵·t²(－10)＝10⁵(－10t²＋t).

当t＝，即x＝60时，y_max＝2500.

求y的最大值，还可以用二次函数的判别式方法解.

令x－40=t，则10＜t≤40，y＝，

即yt²－10⁵t＋10⁶＝0.                                                                                                            ①

Δ＝10¹⁰－4·10⁶·y≥0.

解之y≤2500，即y_max＝2500.

检验：当y＝2500时，方程①2500t²－10⁵t＋10⁶＝0，即t²－40t＋400＝0.

解之t＝20∈(10，40］.

这时x＝60.

点评：(1)设变量时，把最值变量定为函数，建立函数关系式.(2)构造相应的数学模型求最值.法一：令x－50=t，使分子最简，同除以分子后，很容易用均值不等式求分母的最值.法二：令＝t，使二次函数式最简，易于求二次函数y的最值.法三：令x－40=t，应用二次方程判别式求最值.但应注意检验.