Question

已知函数f(x)=

a

3

x3-

1

2

(a+1)x2+x-

1

3

（a∈R）．
（1）函数f（x）的图象在点（-1，f（-1））处的切线方程为12x-y+b=0（b∈R），求a与b的值；
（2）若a＜0，求函数f（x）的极值；
（3）是否存在实数a使得函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程为12x-y+b=0，可知：f′（-1）=12，f（-1）=-12+b，可解a，b的值；
（2）对f（x）进行求导，求出极值点，列出表格，进而求函数f（x）的极值；
（3）求出f（

1

a

），f（1），f（2）的值，讨论

1

a

与1，2值的大小，利用零点定理进行判断．

解答：解：（Ⅰ）已知函数f(x)=

a

3

x3-

1

2

(a+1)x2+x-

1

3

（a∈R）．
则导数f′（x）=ax²-（a+1）x+1，
函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程为12x-y+b=0可知：
f′（-1）=a+（a+1）+1=12，f（-1）=-

a

3

-

1

2

（a+1）-1-

1

3

=-12+b，
解得a=5，b=6；
（2）f′（x）=ax²-（a+1）x+1=a（x-1）（x-

1

a

）
∵a＜0，∴

1

a

＜1，

	（-∞， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

∴f（x）极小值=f（

1

a

）=

-2a2+3a-1

6a2

，f（x）极大值=f（1）=-

1

6

（a-1）
（3）f（

1

a

）=

-2a2+3a-1

6a2

=

-(a-1)(2a-1)

6a2

，f（1）=-

1

6

（a-1）
f（2）=

1

3

（2a-1），f（0）=-

1

3

＜0，
①当a≤

1

2

时f（x）在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数，f（0）=-

1

3

＜0，
f（1）=-

1

6

（a-1）＞0，f（2）=

1

3

（2a-1）≤0，所以f（x）在区间[0，1]，（1，2]上各有一个零点，即在[0，2]上有两个零点；
②当

1

2

＜a≤1时，f（x）在[0，1]上为增函数，在（1，

1

a

）上为减函数，（

1

a

，2）上为增函数，f（0）=-

1

3

＜0，
f（1）=-

1

6

（a-1）＞0，f（

1

a

）=

-(a-1)(2a-1)

6a2

＞0，f（2）=

1

3

（2a-1）＞0，
所以f（x）只在区间[0，1]上有一个零点，故在[0，2]上只有一个零点；
③当a＞1时，f（x）在[0，

1

a

]上为增函数，在（

1

a

，1）上为减函数，（1，2）上为增函数，f（0）=-

1

3

＜0，f（

1

a

）=

-(a-1)(2a-1)

6a2

＜0，f（1）=-

1

6

（a-1）＜0，f（2）=

1

3

（2a-1）＞0，
，所以f（x）只在区间（1，2）上有一个零点，故在[0，2]上只有一个零点；
故存在实数a，当a≤

1

2

时，函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查存在性问题，突出考查函数的零点定理，分类讨论数学思想及综合分析与运算的能力，属于难题．