Question

5．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，则直线y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x与C有0个公共点；若直线y=k（x-3）与C只有一个公共点．则k取值范围为{-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$}．

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，考虑与渐近线平行的直线的特点，求得直线y=k（x-3恒过定点（3，0），即可得到所求范围．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
即有直线y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x与C没有公共点；
直线y=k（x-3）恒过定点（3，0），
由（3，0）在双曲线的右支开口之内，
则只有过（3，0）的直线与渐近线平行，与双曲线只有一个公共点，
故k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：0，{-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$}．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程及应用，考查直线恒过定点的求法，以及直线和双曲线的位置关系，属于基础题．