Question

15．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足|${\overrightarrow a}$|=2，|${\overrightarrow b}$|=1，（$\overrightarrow b$-2$\overrightarrow a$）⊥$\overrightarrow b$，则|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由$（\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}）⊥\overrightarrow{b}$，便可得到${\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，根据向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的长度便可得出$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$，从而可根据$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$求得答案．

解答 解：$（\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}）⊥\overrightarrow{b}$；
∴$（\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{b}=0$；
∴${\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，$|\overrightarrow{a}|=2，|\overrightarrow{b}|=1$；
∴$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}=\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 考查两向量互相垂直的充要条件，数量积的运算，以及向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$长度的求解：$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$．