Question

如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？

 

 

 

Answer 1

点B在使∠AOB＝的位置时，四边形OACB面积最大

【解析】

试题分析：在中,由已知OA=2,OB=1,设∠AOB=,则可应用余弦定理将AB的长用的三角函数表示出来,进而四边形OACB面积S＝S△AOB＋S△AB表示成为的三角函数,再注意将三角函数化简成为的形式,就可求得使四边形OACB面积最大的角的值,从而就可确定点B的位置.

试题解析：设∠AOB＝α， .1分

在△AOB中，由余弦定理得

AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OBcos∠AOB

＝12＋22－2×1×2×cosα

＝5－4cosα， .4分

于是，四边形OACB的面积为

S＝S△AOB＋S△ABC＝OA·OBsinα＋AB2 6分

＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)

＝sinα－cosα＋

＝2sin＋. .10分

因为0＜α＜π，所以当α－＝，α＝，

即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大12分 12分

考点：1.解三角形;2.三角函数的性质.