Question

【题目】如图是一个边长为的正三角形和半圆组成的图形，现把沿直线AB折起使得与圆所在平面垂直，已知点C是半圆的一个三等分点（靠左边一点），点E是线段PB上的点，（1）当点E是PB的中点时，在圆弧上找一点Q，使得平面；（2）当二面角的正切值为时，求BE的长。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）取圆弧CB的中点Q，AB的中点O，易证OQ//AC，OE//PA，得平面EOQ平面PAC，所以平面；（2）过C作AB的垂线交AB于G点，过G作直线AE的垂线交AE于H点，连CH，则即为二面角的平面角，利用直角三角形的性质可得结果.

试题解析：（1）取圆弧CB的中点Q，AB的中点O，易证OQ//AC，OE//PA，得平面EOQ平面PAC，所以平面；

（2）过C作AB的垂线交AB于G点，过G作直线AE的垂线交AE于H点，连CH，则即为二面角的平面角；

因为， ，在中可得，在中，可解得.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、二面角的定义及求法，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.