Question

4．已知b≤2，设命题p：函数f（x）=$\frac{bx+|a|}{x+1}$在（0，+∞）上是增函数：命题q：对?x＞0，x²-（b-|a|+1）x+1≥0恒成立．若满足p∧q为真命题的实数对为（a，b），求以实数对（a，b）为坐标的点所表示的平面区域的面积．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a，b的范围，画出满足条件$\left\{\begin{array}{l}{0＜b≤2}\\{-1≤a≤1}\end{array}\right.$成立的平面区域，求出面积即可．

解答 解：若p∧q为真命题，则p，q均为真命题，
已知b≤2，关于命题p：函数f（x）=$\frac{bx+|a|}{x+1}$在（0，+∞）上是增函数，
若f（x）=b+$\frac{|a|-b}{x+1}$在（0，+∞）递增，
则$\left\{\begin{array}{l}{b≤2}\\{|a|-b＜0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜b≤2}\\{|a|＜b}\end{array}\right.$①；
关于命题q：对?x＞0，x²-（b-|a|+1）x+1≥0恒成立，
由①对称轴x=$\frac{b-|a|+1}{2}$＞0，
∴只需△=（b-|a|+1）²-4≤0即可，
解得：0＜b-|a|+1≤2②，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-a≤1}\\{a≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b+a≤1}\\{a＜0}\end{array}\right.$，
由①②得：$\left\{\begin{array}{l}{0＜b≤2}\\{-1≤a≤1}\end{array}\right.$，
画出满足条件的平面区域，如图示：
∴所求平面区域的面积是：4．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查函数的单调性以及二次函数问题，是一道中档题．