Question

已知函数f（x）=

∫

x 0

（cost+sint）dt（x＞0），若函数y=f（x）向右平移T(|T|＜

π

2

)个单位后图象的一个对称中心为(

7π

12

，1)，则T的值为（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  5π

  12

• D．

  π

  3

Answer 1

分析：先根据定积分求出函数f（x）的解析式，然后利用图象的平移得到平移后的解析式，最后根据对称中心在图象上可求出T的值．

解答：解：f（x）=

∫

x 0

（cost+sint）dt=（sint-cost）

|

x 0

=sinx-cosx+1=

2

sin（x-

π

4

）+1
函数y=f（x）向右平移T(|T|＜

π

2

)个单位后解析式为f（x-T）=

2

sin（x-

π

4

-T）+1
而图象的一个对称中心为(

7π

12

，1)，则对称轴中心在图象上
∴

2

sin（

7π

12

-

π

4

-T）+1=1解得T=

π

3

-kπ，k∈Z
而(|T|＜

π

2

)则T=

π

3

故选D．

点评：本题主要考查了定积分的运算，以及正弦函数的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．