Question

设不等式（2log

1

2

x+3）（log

1

2

x+3）≤0 的解集为M，求集合M 并求当x∈M时函数f（x）=（log₂

x

2

）（log₂

x

8

）的最小值．

Answer 1

分析：利用一元二次不等式的解法和对数函数的单调性可得集合M，再利用二次函数的单调性即可得出f（x）的最小值．

解答：解：∵（2log

1

2

x+3）（ log

1

2

x+3）≤0．
∴-3≤log

1

2

x≤-

3

2

，
∴(

1

2

)-

3

2

≤x≤（

1

2

）^-3，
∴2

2

≤x≤8 即M=[2

2

，8]．
又f（x）=（log₂x-1）（log₂x-3）=log₂²x-4log₂x+3=（log₂x-2）²-1．
∵2

2

≤x≤8，∴

3

2

≤log₂x≤3
∴当log₂x=2，即x=4时f（x）_min=-1．

点评：熟练掌握一元二次不等式的解法和对数函数的单调性、二次函数的单调性等是解题的关键．