Question

如图，在五面体，ABCDF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面ABF是等边三角形，棱EF＝．
（1）证明EO∥平面ABF；
（2）问为何值时，有OF⊥ABE，试证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

（1）证明：取AB中点M，连结OM．                 2分
在矩形ABCD中，OM＝，
又EF＝，则EF＝OM，
连结FM，于是四边形EFMO为平行四边形．∴OE∥FM．                                  4分
又∵EO平面ABF，FM平面ABF，∴EO∥平面ABF．                                    6分
（2）解：∵OF⊥平面ABE，连结EM．
∵EM平面ABE．∴OF⊥EM，又四边形OEFM为平行四边形．
∴□OEFM为菱形．                                                                                                               8分
∴OM＝MF，设OM＝a，则BC＝2a．
在正△ABF中，MF＝a，∴a＝，∴．                                10分
∴CD＝，∴
综上可知，当时，有OF⊥平面ABE．                                                    12分