题目内容
(22)设a1=1,a2=
,an+2=
an+1－
an(n=1,2,…).(Ⅰ)令bn=an+1－an(n=1,2,…),求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Sn.
(22)
解：(Ⅰ)因bn+1=an+2－an+1
=an+1－an－an+1
=(an+1－an)=
bn.
故{bn}是公比为
的等比数列,且b1=a2－a1=
,
故bn=(
)n (n=1,2,…).
(Ⅱ)由bn=an+1－an=(
)2得
an+1－a1=(an+1－an)+(an－an－1)+…+(a2－a1)
=(
)n+(
)n－1+…+(
)2+
=2［1－(
)n］.
注意到a1=1,可得
an=3－
(n=1,2,…).
记数列{
}的前n项和为Tn,则
Tn=1+2·
+…+n·(
)n－1,
Tn=
+2·(
)2+…+n·(
)n.
两式相减得
Tn=1+
+(
)2+…+(
)n－1－n(
)n
=3［1－(
)n］－n(
)n,
故Tn=9［1－(
)n］－3n(
)n=9－
从而Sn=a1+2a2+…+nan
=3(1+2+…+n)－2Tn
=
n(n+1)+
－18.
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