Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=9，a_n=a_n+1+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）计算|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₀|．

Answer 1

分析 （1）由a_n=a_n+1+2，可得a_n+1-a_n=-2．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{|a_n|}的前n项和为T_n．利用等差数列的前n项和公式S_n=-n²+10n．令a_n=11-2n≥0，解得n≤5．当n≤5时，|a_n|=a_n，T_n=S_n．当n≥6时，|a_n|=-a_n，T_n=S₅-a₆-…-a_n=2S₅-S_n．

解答 解：（1）∵a_n=a_n+1+2，∴a_n+1-a_n=-2．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为9，公差为-2．
∴a_n=9-2（n-1）=11-2n．
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{|a_n|}的前n项和为T_n．
S_n=$\frac{n（9+11-2n）}{2}$=-n²+10n．
令a_n=11-2n≥0，解得n≤5．
∴当n≤5时，|a_n|=a_n，
T_n=S_n=-n²+10n．
当n≥6时，|a_n|=-a_n，
T_n=S₅-a₆-…-a_n
=2S₅-S_n
=2×25-（-n²+10n）
=n²-10n+50．
∴T₁₀=10²-10×10+50
=50．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．