Question

已知F是椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的右焦点，过F的弦AB满足

AF

=3

FB

，则弦AB的中点到右准线的距离为（　　）

• A．6
• B．

  3

  2

• C．3
• D．

  19

  2

Answer 1

分析：根据题意，设直线AB方程为y=k（x-4），与椭圆消去y得关于x的一元二次方程．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得x₁+x₂=

200k2

9+25k2

，x₁x₂=

400k2-225

9+25k2

…①，再由

AF

=3

FB

，算出x₁+3x₂=16…②，联解得到x₁+x₂=

13

2

，得弦AB的中点横坐标为

13

4

，再算出椭圆右准线方程为x=

25

4

，即可得出AB的中点到右准线的距离．

解答：解：∵椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的右焦点为F（4，0）
∴设直线AB方程为y=k（x-4），
与椭圆消去y，得（9+25k²）x²-200k²x+400k²-225=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
可得x₁+x₂=

200k2

9+25k2

，x₁x₂=

400k2-225

9+25k2

…①
∵

AF

=3

FB

∴4-x₁=3（x₂-4），可得x₁+3x₂=16…②
联解①②，可得k=±

5

4

，x₁+x₂=

13

2

∴弦AB的中点横坐标为

13

4

∵右准线方程为x=

a2

c

=

25

4

，∴AB的中点到右准线的距离为

25

4

-

13

4

=3，
故选：C

点评：本题给出椭圆的焦点弦被焦点分成1：3的两段，求弦的中点到右准线的距离．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题．