Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA=BC（a＞0），
(Ⅰ)当a=1时，求证：BD⊥PC；
(Ⅱ)若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求此时二面角A-PD-Q的余弦值。

Answer 1

解：(Ⅰ)当a=1时，底面ABCD为正方形， ∴BD⊥AC， 又因为BD⊥PA， ∴BD⊥面PAC， 又， ∴BD⊥PC。
(Ⅱ) 因为两两垂直， 分别以它们所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系， 如图所示，令AB=1，可得BC=a， 则， 设BQ=m，则， 要使PQ⊥QD， 只要， 即， 由，此时m=1， 所以BC边上有且只有一个点Q， 使得PQ⊥QD时，Q为BC的中点，且a=2， 设面PQD的法向量， 则， 解得， 取平面PAD的法向量， 则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等， 所以， 因此二面角A-PD-Q的余弦值为。