Question

15．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=$\frac{3}{8}$x²-2x+2+xf（x）．
（1）求函数y=g（x）的单调区间；
（2）若函数y=g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零点，求n的最大值；
（3）证明f（x）≤1-$\frac{1}{x}$在其定义域内恒成立，并比较f（2²）+f（3²）+…+f（n²）与$\frac{（2n+1）（n-1）}{2（n+1）}$（n∈N^x且n≥2）的大小．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的正负，可得函数y=g（x）的单调区间；
（2）确定g（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上无零点，函数y=g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零点，只要考虑eⁿ＜$\frac{2}{3}$且f（eⁿ）≤0；
（3）要证明f（x）≤1-$\frac{1}{x}$，只要证明$\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{1}{x}$，只要证明lnx-x+1≤0在（0，+∞）上恒成立，构造函数，即可得出结论．

解答 （1）解：g（x）的定义域为（0，+∞），
∵g′（x）=$\frac{（3x-2）（x-2）}{4x}$，
∴由g′（x）＞0，可得0＜x＜$\frac{2}{3}$或x＞2；由g′（x）＜0，可得$\frac{2}{3}$＜x＜2，
∴函数g（x）的单调递增区间为（0，$\frac{2}{3}$），（2，+∞）；单调递减区间为（$\frac{2}{3}$，2）；
（2）解：∵g（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上的最小值为g（2），且g（2）=$\frac{ln4-1}{2}$＞0，
∴g（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上无零点．
函数y=g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零点，只要考虑eⁿ＜$\frac{2}{3}$且f（eⁿ）≤0，
∵g（e^-1）＞0，g（e^-2）＜0，
∴n≤-2且n∈Z时均有g（eⁿ）＜0，
∴g（x）在[eⁿ，e^-1]?[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零点，
∴n的最大值为-2；
（3）证明：要证明f（x）≤1-$\frac{1}{x}$，只要证明$\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{1}{x}$，
只要证明lnx-x+1≤0在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=lnx-x+1（x＞0），则h′（x）=$\frac{1}{x}$-1=0得x=1，且x=1处有极大值（也是最大值），
∵h（1）=0，
∴lnx-x+1≤0在（0，+∞）上恒成立．
∴f（n²）≤1-$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴f（2²）+f（3²）+…+f（n²）≤（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）+（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）+…+（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）
=（n-1）-（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$）
＜（n-1）-[$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$]
=（n-1）-（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=（n-1）-（$\frac{1}{2}$--$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{（2n+1）（n-1）}{2（n+1）}$，
∴f（2²）+f（3²）+…+f（n²）＜$\frac{（2n+1）（n-1）}{2（n+1）}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确运用导数是关键．