Question

已知函数f（x）=（x²-a）e^x．
（Ⅰ）若函数f（x）在R上不是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-1时，讨论函数g（x）=f'（x）-4xe^x-x（x＞1）的零点个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=（x²+2x-a）e^x，由题意知方程x²+2x-a=0有两个不同的实数解，由此可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）确定函数的单调性，利用零点存在定理，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=（x²+2x-a）e^x，由题意知方程x²+2x-a=0有两个不同的实数解，所以△=4+4a＞0，解得a＞-1．
因此，实数a的取值范围是a＞-

1

2

．--------（6分）
（Ⅱ）g（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），g'（x）=e^x（x²-1）-1．--------（7分）
设h（x）=e^x（x²-1）-1（x＞1），h'（x）=e^x（x²+2x-1），
因为x＞1，所以h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）上是增函数，---------（9分）
又h（1）=-1＜0，h（2）=3e²-1＞0，
因此在（1，2）内存在唯一的实数x₀，使得h（x₀）=0，--------------（11分）
因为h（x）在（1，+∞）上是增函数，所以在（1，+∞）内存在唯一的实数x₀，使得h（x₀）=0．
h（x）与h'（x）随x的变化情况如下表：

x	（1，x0）	x0	（x0，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

由上表可知，g（x₀）=g（1）=-1＜0，又g（2）=e²-2＞0，
故g（x）的大致图象右图所示：
所以函数g（x）在（1，+∞）内只有一个零点．--------（15分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．