Question

【题目】已知函数f （x）=lnx﹣mx+m．
（1）若f （x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，对任意的0＜a＜b，求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：定义域为（0，∞），f′（x）= ﹣m= ，

当m≤0时，f′（x）＞0（x＞0），

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当m＞0时，令f′（x）＞0，得0＜x＜ ，

∴f（x）在（0， ）上单调递增；

令f′（x）＜0，得x＞ ，

∴f（x）在（ ，+∞）上单调递减．

∴当m≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），无单调减区间；

当m＞0时，f（x）的单调增区间是（0， ），单调减区间是（ ，+∞）．

当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，

且f（e）=lne﹣me+m=1+m（1﹣e）＞0，

∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立；

当m＞0时，得f（x）max=f（ ）=﹣lnm﹣1+m，

若使f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，只需﹣lnm﹣1+m≤0，

令g（m）=﹣lnm﹣1+m，g′（m）= ，

∴当m∈（0，1）时，g'（m）＜0，

当m∈（1，+∞）时，g'（m）＞0，

∴g（m）min=g（1）=0，

∴只有m=1符合题意，

综上得，m=1

（2）解：证明：由（ 1）知m=1，f（x）=lnx﹣x+1，

∴ = ﹣1= ﹣1，

∵b＞a＞0，∴ ＞1，

由（ 1）得，当x∈（0，+∞）时，lnx≤x﹣1，

∴ln ≤ ﹣1，

∵ ＞1，∴ ≤1，

∵ ＞0，∴ ﹣1≤ ﹣1＜ ﹣ = ，

∴

【解析】（1）求出f（x）的导函数，对参数m分m≤0，m＞0两类进行讨论，求出单调区间；f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即函数f（x）max≤0，求出函数的最大值；（2）先对要证明的不等式当变形，构造一个形如f（x）的函数，再根据已研究函数的性质，得出要证的结论．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．