Question

【题目】曲线上任意一点M满足, 其中F (-F (抛物线的焦点是直线y＝x－1与x轴的交点, 顶点为原点O.

（I）求， 的标准方程；

（II）请问是否存在直线l满足条件：① 过的焦点；② 与交于不同两点， 且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2） 或.

【解析】试题分析：（1）由已知得曲线是以为焦点，以4为实轴的椭圆，抛物线的焦点是，顶点为原点，由此能求出求， 的标准方程；（2）设直线的方程为，由，得，由此利用韦达定理结合向量垂直数量积为0的性质能求出直线的方程．

试题解析：（1）∵曲线上任意一点满足，其中，
∴曲线是以为焦点，以4为实轴的椭圆，
∴， ，∴，∴曲线的方程为．
∵抛物线的焦点是直线与轴的交点，顶点为原点，
∴抛物线的焦点是，∴抛物线的标准方程为： ．
（2）假设存在存在直线直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同两点，且满足，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，设， ，则， ， ，
∵，∴ ，
解得或，
∴直线满足条件，且的方程为或．