Question

（2009•闵行区二模）（文）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上的点P到它的两个焦点F₁、F₂的距离之比|PF1|：|PF2|=2：

3

，且∠PF1F2=α(0＜α＜

π

2

)，则α的最大值为（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．arccos

  2 3

  3

Answer 1

分析：本选择题利用特殊值法解决，不妨设|PF₁|=2，|PF2|=

3

，在三角形PF₁F₂，由余弦定理结合基本不等式得cosα的取值范围，从而得出α的最大值．

解答：解：不妨设|PF₁|=2，|PF2|=

3

，|F₁F₂|=2c，
则2a=2+

3

⇒a=

1

2

（2+

3

），
∴c＜a=

1

2

（2+

3

），
在三角形PF₁F₂，由余弦定理得：A
cosα=

PF 1 2+F  1F 2 2-PF   2 2

2PF 1•F 1F 2

=

4+c 2-3

4c

=

1+c 2

4c

≥

2c

4c

=

1

2

由于c＜a=

1

2

（2+

3

），
故当且仅当c=1时取等号，
cosα的最小值为

1

2

，∵0＜α＜

π

2

，
则α的最大值为

π

3

．
故选C．

点评：本小题主要考查椭圆的参数方程、余弦定理、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．