题目内容
【题目】已知函数
．
（1）求证：函数
是偶函数；
（2）设
，求关于
的函数
在
时的值域
的表达式；
（3）若关于
的不等式
在
时恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
（3）
．
【解析】试题分析：（1）判断定义域是否关于原点对称，计算
判断其与
的关系； （2）令
，故
，换元得
，转化为二次函数，分类讨论求其最值即可；（3））由
，得
，即
恒成立，求其最值即可.
试题解析：
（1）函数
的定义域为
，对任意
， 
，
所以，函数
是偶函数．
（2）
，
令
，因为
，所以
，故
，
原函数可化为
， 
，
图像的对称轴为直线
，
当
时，函数
在
时是增函数，值域为
；
当
时，函数
在
时是减函数，在
时是增函数，值域为
．
综上， 
（3）由
，得
，
当
时， 
，所以
，所以
，
所以， 
恒成立．
令
，则
， 
，
由
，得
，所以
， 
．
所以， 
，即
的取值范围为
．
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