Question

【题目】已知点F（0，1），直线l：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且 ．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1 ， |DB|=l2 ， 求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（x，y），则Q（x，﹣1），

∵ ，

∴（0，y+1）（﹣x，2）=（x，y﹣1）（x，﹣2）．

即2（y+1）=x2﹣2（y﹣1），即x2=4y，

所以动点P的轨迹C的方程x2=4y

（2）解：设圆M的圆心坐标为M（a，b），则a2=4b．①

圆M的半径为 ．

圆M的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=a2+（b﹣2）2．

令y=0，则（x﹣a）2+b2=a2+（b﹣2）2，

整理得，x2﹣2ax+4b﹣4=0．②

由①、②解得，x=a±2．

不妨设A（a﹣2，0），B（a+2，0），

∴ ， ．

∴ = ，③

当a≠0时，由③得， ．

当且仅当 时，等号成立．

当a=0时，由③得， =2．

故当 时， 的最大值为 ．

【解析】（1）先设出点P的坐标，代入 整理即可得到动点P的轨迹C的方程；（2）先利用条件设出圆的方程，并求出A、B两点的坐标以及|DA|=l1 ， |DB|=l2的表达式，代入 整理后利用基本不等式求最大值即可．