Question

（本小题满分13分）如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图，俯视图，在直观图中，M是BD的中点，N是BC的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

（1）求该几何体的体积；

（2）求证：AN∥平面CME；

（3）求证：平面BDE⊥平面BCD

 

Answer 1

【答案】

(1)4 ；(2)连接MN，则MN∥CD，且.又AE∥CD，且，

∴∥，=∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM.∵AN平面CME，EM平面CME，∴AN∥平面CME  (3)∵AC＝AB，N是BC的中点，∴AN⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD则(2)知：AN∥EM,∴EM⊥平面BCD，又EM平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD 

【解析】

试题分析：(1)由题意可知：四棱锥B－ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，

AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，  …………2分

则四棱锥B－ACDE的体积为：，

即该几何体的体积为4    …………4分

(2)证明：由题图知，连接MN，则MN∥CD，

且.又AE∥CD，且，                    …………6分

∴∥，=∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM.

∵AN平面CME，EM平面CME，∴AN∥平面CME         ……………8分

(3)证明：∵AC＝AB，N是BC的中点，∴AN⊥BC,

又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD                      …………10分

则(2)知：AN∥EM,

∴EM⊥平面BCD，又EM平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD       ……13分

考点：本题考查了空间中的线面关系

点评：高考中常考查空间中平行关系与垂直关系的证明以及几何体体积的计算，这是高考的重点内容.证明的关键是熟练掌握并灵活运用相关的判定定理与性质定理.