Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

．
（Ⅰ）求证：A，B，C三点共线，并求

| AC |

| BA |

的值；
（Ⅱ）已知A(1，cosx)，B(1+cosx，cosx)，x∈[-

π

2

，

π

2

]，且函数f(x)=

OA

•

OC

+(2m-

2

3

)•|

AB

|的最小值为

1

2

，求实数m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由向量共线的条件证明A，B，C三点共线，再由两向量之间的数乘关系得出求

| AC |

| BA |

的值；
（Ⅱ）求出相关的向量的坐标，利用数量积得出函数的解析式，此是一个三角形函数，故由三角函数的最值建立关于参数的方程求实数m的值

解答：解：（Ⅰ）∵

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

∴

BC

=

1

3

BA

又因为

BC

，

BA

有公共点B，
∴A，B，C三点共线（4分）
∵

AC

=2

CB

∴

| AC |

| BA |

=

2

3

（6分）
（Ⅱ）∵A（1，cosx），B（1+cosx，cosx），
∴

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

=

1

3

(1，cosx)+

2

3

(1+cosx，cosx)=(1+

2

3

cosx，cosx)（8分）
∴

OA

•

OC

=1+

2

3

cosx+cos2x又∵|

AB

|=cosx
∴f(x)=

OA

•

OC

+(2m-

2

3

)•|

AB

|=cos2x+2mcosx+1（10分）
设cosx=t∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，∴t∈[0，1]
∴y=t²+2mt+1=（t+m）²+1-m²
当-m＜0即m＞0时，当t=0有ymin=1≠

1

2

当0≤-m≤1即-1≤m≤0时，当t=-m有ymin=1-m2=

1

2

∴m=-

2

2

当-m＞1即m＜-1时，当t=1有ymin=2+2m=

1

2

∴m=-

3

4

（舍去）
综上得m=-

2

2

．（15分）

点评：本题考查平面向量综合题，以及三角的最值，解答本题，关键是熟练掌握向量的运算性质，加法，减法，数乘及数量积，且理解并掌握它们的几何意义，本题中第二小题把最值问题转化到三角函数中来求，给出了一个向量与三角结合的样板，题后应总结一下这两个不同领域知识结合使用的规律．本题运算量较大，易运算出错，做题时要注意认真运算．