Question

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°，
(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；
(Ⅱ)求二面角S-AM-B的大小．

Answer 1

(Ⅰ)证明：作ME∥CD交SD于点E，则ME∥AB，ME⊥平面SAD， 连结AE，则四边形ABME为直角梯形， 作MF⊥AB，垂足为F，则AFME为矩形， 设ME=x，则SE=x，， MF=AE=，FB=2-x， 由MF=FB·tan 60°，得， 解得x=1，即ME=1， 从而，所以M为侧棱SC的中点。 (Ⅱ)解：MB==2， 又∠ABM=60°，AB=2，所以△ABM为等边三角形． 又由(Ⅰ)知M为SC中点，， 故， 取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH， 则BG⊥AM，GH⊥AM， 由此知∠BGH为二面角S-AM-B的平面角， 连结BH，在△BGH中， ，BH=， 所以，， 所以，二面角S-AM-B的大小为arccos。