Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）设是的极值点，求的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）当时，证明：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ)2（Ⅲ）详见解析

【解析】

（Ⅰ）对函数求导，由题意知，可求出的值，经检验m=1符合题意；（Ⅱ）求出函数的单调性，进而求出最小值，令即可得到答案；（Ⅲ）由题意，当m≤2，x∈（-m，+∞）时，，故只需证明当m=2时，，进而分析函数单调性，求得，即可。

解：（Ⅰ）∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1．

经检验m=1符合题意.

（Ⅱ）由（ Ι）可知，函数f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定义域为（-1，+∞）．

∵

设g（x）=ex（x+1）-1，则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（-1，+∞）上为增函数，

又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．

所以f（x）在（-1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；因此，的最小值为

∵在定义域内恒成立,即

（Ⅲ）证明：要证，即.

设,即证

当mx∈（-m，+∞）时，，故只需证明当m=2时，.

当m=2时，函数在（－2，+∞）上为增函数，且．

故在（－2，+∞）上有唯一实数根，且∈（－1，0）．

当时，，当时，,

从而当时，取得最小值．

由，得，即，故．

综上，当m≤2时， 即＞m．