Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n（ n∈N^*），且Sn=

3

2

an-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）当n=1时，a1=S1=

3

2

a1-1，解得a₁=2．
当n≥2时，Sn=

3

2

an-1，Sn-1=

3

2

Sn-1-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=

3

2

an-

3

2

an-1，∴a_n=3a_n-1（n≥2）．
∴数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an=2×3n-1．
（2）∵b_n=na_n，∴b_n=2n•3^n-1．
∴Tn=2(1×30+2×31+2×32+…+n•3n-1)，
3Tn=2[1×3+2×32+…+(n-1)•3n-1+n•3n]，
∴-2Tn=2（1+3¹+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ）=2[

3n-1

3-1

-n•3n]=（1-2n）•3ⁿ-1，
∴T_n=(n-

1

2

)•3n+

1

2

．

点评：本题考查了“n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”、“错位相减法”和等比数列的通项公式、前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．