Question

（本小题满分14分）设函数的定义域是R，对于任意实数，恒有，且当 时，．
（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求证：，且当时，有；
（Ⅲ）判断在R上的单调性，并加以证明.

Answer 1

解：（Ⅰ）令m=n=1得f(2)=f(1)f(1)=，               2分
∴．                                            4分
（Ⅱ），
令，则，且当时，，
∴；                                                    6分
设，，
∴，∴．                         9分
（Ⅲ）在R上任取x₁，x₂，使得，
则，∴，
∴

∵当x>0时，0<f(x)<1；当x=0时，f(x)=1>0；当x<0时，f(x) >1
∴对任意x∈R，有f(x) >0，∴f(x₁)>0
∵0<f(x₂-x₁)<1  ∴f(x₂-x₁)-1<0
∴f(x₂)-f(x₁)<0，即f(x₁)>f(x₂)
∴在R上是单调递减．                                    14分

略