Question

如图，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且.

(1)求证：A′B′∥AB,A′C′∥AC,B′C′∥BC;

(2)求的值.

Answer 1

【探究】 用平面几何知识可以证明两条直线平行；用等角定理可以证明两个角相等，从而可以证明两个三角形相似.

(1)证明：∵AA′与BB′交于点O，且.

∴AB∥A′B′.

同理AC∥A′C′,BC∥B′C′.

(2)解：∵A′B′∥AB,AC∥A′C′且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，

∴∠BAC=∠B′A′C′,

同理∠ABC=∠A′B′C′.

因此△ABC—△A′B′C′,

且.

∴.

【规律总结】 等角定理实质上是由如下两个结论合成的.

(1)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.

(2)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补.