Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中点．
（1）判断在PD上是否存在一点E，使面ABE⊥面PCD，并说明理由；
（2）求面AMC与面BMC所成的二面角的大小；
（3）求点D到面MAC的距离．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直的判定与性质，证出CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD．在△PAD中，取PD的中点E，可得AE⊥PD，结合AE⊥CD，得AE⊥平面PCD，所以平面ABE⊥平面PCD，得存在PD的中点E，使得平面ABE⊥平面PCD；
（2）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，用三角形全等证出BN⊥CM，得∠ANB为面AMC与面BMC所成的二面角的平面角．△ANB中利用余弦定理，算出cos∠ANB=-

2

3

，即得面AMC与面BMC所成的二面角的大小；
（3）求出点M到平面ACD的距离h₁=

1

2

PA=

1

2

，设点D到面MAC的距离为h₂．三棱锥M-ADC中，由等体积转换得

1

3

SACD•h1=

1

3

SACM•h2，代入数据化简整理，即可得到点D到面MAC的距离h₂．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊥AD
∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线
∴CD⊥平面PAD，得CD⊥PD
在△PAD中，取PD的中点E，
∵△PAD中，PA=AD，∴AE⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥CD，
∵PD、CD是平面PCD内的相交直线，∴AE⊥平面PCD
∵AE?面ABE，∴面ABE⊥面PCD，
即在PD上存在一点E，且E是PD的中点，使得面ABE⊥面PCD
（2）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN
在Rt△PAB中，AM=MB且AC=CB，
∴△AMC≌△BMC，可得BN⊥CM，
因此，∠ANB为面AMC与面BMC所成的二面角的平面角
∵CB⊥AC，PA⊥平面ABCD，∴CB⊥PC
在Rt△PCB中，CM=MB，可得CM=AM=

1

2

PB=

5

2

在等腰△AMC中，AN•MC=

CM2-( AC 2 )2

•AC
∴AN=

3 2 × 2

5 2

=

6

5

，
又∵AB=2，∴cos∠ANB=

AN2+BN2-AB2

2AN×BN

=-

2

3

因此，面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos(-

2

3

)．
（3）点M到平面ACD的距离h₁=

1

2

PA=

1

2

，设点D到面MAC的距离为h₂
S_△ACD=

1

2

×AD×DC=

1

2

，S_△ACM=

1

2

×CM×AN=

6

4

∵由三棱锥的体积公式，得V_M-ACD=V_D-ACM，
∴

1

3

SACD•h1=

1

3

SACM•h2，可得

1

2

•

1

2

=

6

4

h2，解之得h2=

6

6

故点D到面MAC的距离为

6

6

．

点评：本题在特殊的四棱锥中，求二面角的大小并求点到平面的距离，着重考查了空间垂直位置关系的证明、二面角的平面角和锥体体积公式求点面距离等知识，属于中档题．