Question

4．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，首项a₁=4，a₁，a₃，a₇成等比数列，设数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N）．
（I）求a_n和S_n；
（II）若b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}（2{S}_{n}＜5{a}_{n}）}\\{\frac{1}{{S}_{n}}（2{S}_{n}＞5{a}_{n}）}\end{array}\right.$数列{b_n}的前n项和T_n，求证4≤T_n＜18$\frac{37}{180}$．

Answer 1

分析 （I）化简可得（4+2d）²=4（4+6d），从而求得d=2；从而求a_n和S_n；
（II）可求得2S_n-5a_n=2[（n-1）²-6]，从而化简得b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2（n+1），1≤n≤3}\\{\frac{1}{n（n+3）}，n≥4}\end{array}\right.$；从而分类讨论求T_n，从而证明．

解答 解：（I）由题意知，a₃=4+2d，a₇=4+6d，
故（4+2d）²=4（4+6d），
解得，d=0（舍去）或d=2；
故a_n=4+2（n-1）=2（n+1），
S_n=$\frac{4+2n+2}{2}$n=n（n+3）；
（II）证明：∵2S_n-5a_n=2n（n+3）-5×2（n+1）=2[（n-1）²-6]，
∴当n＜4时，2S_n＜5a_n，当n≥4时，2S_n＞5a_n；
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2（n+1），1≤n≤3}\\{\frac{1}{n（n+3）}，n≥4}\end{array}\right.$；
①当1≤n≤3时，
T₁=4，T₂=10，T₃=4+6+8=18；
②当n≥4时，
T_n=18+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{5×8}$+$\frac{1}{6×9}$+$\frac{1}{7×10}$+…+$\frac{1}{n（n+3）}$，
=18+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+3}$）
=18+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$）
＜18+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$）=18$\frac{37}{180}$；
综上所述，4≤T_n＜18$\frac{37}{180}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了分类讨论的思想应用及方程思想的应用．