Question

【题目】已知函数.

（1）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）求证：对任意， ，都有成立；

（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使得整个区间上，不等式恒成立，求出的解析式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：

（1）由题意令，则，可得，即可求解实数的取值范围；

（2）对任意， ，作差化简，即可.

（3）由题意得，由不等式恒成立得且，结合二次函数的图象，分类讨论，即可求解的表达式.

试题解析：

（1）因为， 恒成立，令， ，则

所以，解得

（2）对任意， ，

，

（3）对称轴， 由不等式恒成立得且

因为，当，即时，则， 在为减函数.

由题意知： 由且，解得：

所以时，

当，即时，则总成立

由题意得： ， 在为减函数， 在为增函数，

又，则，

由， 解得，所以时，

综上

点睛:本题考查了函数的综合应用，解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，不等式的性质的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.