Question

【题目】如图，在四面体中，,.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若与平面所成的角为，点是的中点，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).

【解析】分析：（Ⅰ）由勾股定理可得， 则，，进一步可得， 则.

（Ⅱ）结合（Ⅰ）的结论和几何关系，以B为原点，建立空间直角坐标系，则平面BDE的法向量为，且是平面CBD的一个法向量．结合空间向量计算可得二面角的大小为．

详解：（Ⅰ）由已知得，

，

又，，

，

，

又，，

，

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB与平面BCD所成的角为，即，

设BD＝2，则BC＝2，在中，AB＝4，

由（Ⅰ）中，得平面ABC⊥平面ABD，在平面ABD内，过点B作，则平面ABC，以B为原点，建立空间直角坐标系，

则，，，

，由，

，

得，

∴，，

设平面BDE的法向量为，

则，取，解得，

∴是平面BDE的一个法向量，

又是平面CBD的一个法向量．

设二面角的大小为，易知为锐角，

则，

∴，即二面角的大小为．