Question

设函数f(x)=x³+bx²+4cx+d的图象关于原点对称，f(x)的图象在点P(1,m)处的切线的斜率为-6，且当x=2时f(x)有极值.

（1）求a、b、c、d的值；

（2）若x₁、x₂∈［-1,1］，求证：︱f(x₁)-f(x₂)︱≤.

Answer 1

解;（1）∵y=f(x)的图象关于原点对称，

∴由f(-x)=-f(x)恒成立有b=d=0.

则f(x)= x³+4cx,f′(x)=ax²+4c,又∵f(1)=-6,f(2)=0,

∴

故a=2,b=0,c=-2,d=0.

（2）∵f(x)=x³-8x,

f′(x)=2x²-8=2(x-2)(x+2),

当x∈［-1,1］时, f(x)≤0,f(x)在\[-1，1]上递减而x₁∈［-1,1］,

∴f(1)≤f(x₂)≤f(-1),即-≤f(x₁)≤,

∴|f（x₁）|≤,同理可得|f(x₂)|≤.

∴|f(x₁)-f(x₂)|≤|f(x₁)|+|f(x₂)|≤,故|f(x₁)-f(x₂)|≤.