Question

数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^*），a₁=27，
（1）记bn=

1

2n

(an+t)，是否存在实数t，使数列{b_n}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，说明理由？
（2）设Cn=

1

2bn-2

，dn=

bn-2

bn-1

，试求使不等式（1+C₁）（1+C₂）…(1+Cn) ≥

1 d2d3…dn+1

对所有n∈N^*成立的最大实数k．

Answer 1

分析：（1）假设存在实数t，使得{b_n}为等差数列，从而有2b_n=b_n-1+b_n+1，故可求；
（2）由（1）知：Cn=

1

2n -1

，dn=

2n-3

2n -1

，1+Cn=

2n

2n-1

原不等式等价于
2•

4

3

•…•

2n

2n-1

≥k•

2n+1

，利用分离参数法，再考查g(n)=

2• 4 3 •…• 2n 2n-1

2n+1

的单调性，利用其最小值，可求
最大实数k的值．

解答：解：（1）假设存在实数t，使得{b_n}为等差数列．则2b_n=b_n-1+b_n+1
∴2×

1

2n

(a n+t)=

1

2n-1

(a n-1+t)+

1

2n+1

(a n+1+t)
∴4a_n=4a_n-1+a_n+1+t
∴4a n=4×

a n-2n-1

2

+2a n+2n+1+t+1
∴t=1
即存在t=1，使得数列{b_n}为等差数列．
（2）由（1）知：Cn=

1

2n -1

，dn=

2n-3

2n -1

，1+Cn=

2n

2n-1

原不等式等价于
2•

4

3

•…•

2n

2n-1

≥k•

2n+1

∴k≤

2• 4 3 •…• 2n 2n-1

2n+1

令g(n)=

2• 4 3 •…• 2n 2n-1

2n+1

，则

g(n+1)

g(n)

＞ 1
∴g（n）为单增数列，故g(n)min=g(1)=

2

3

3

∴k≤

2

3

3

∴最大实数k为

2

3

3

．

点评：本题以数列为载体，考查数列与不等式的综合，考查数列的通项公式的求法，存在性问题的求解，关键是分离参数，利用最值求解．