Question

14．在某个路口测试汽车的行驶速度．绘出如图直方图，已知左边三个矩形面积构成公差为$\frac{1}{10}$的等差数列，右边三个矩形面积构成公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，若时速在60～70内有78辆车．
（I）求抽检车辆总数；
（Ⅱ）如果该路段限速“70”，那么在抽检车辆中任抽取一辆，求它超速的概率．

Answer 1

分析 （1）设抽检车辆总数为n，由频率直方图的性质和等比数列、等差数列的性质能求出抽检车辆总数．
（2）由频率分布直方图得，求出时速超过70的车辆数量，由此能求出在抽检车辆中任抽取一辆，它超速的概率．

解答 解：（1）设抽检车辆总数为n，
∵左边三个矩形面积构成公差为$\frac{1}{10}$的等差数列，右边三个矩形面积构成公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，时速在60～70内有78辆车，
∴$\frac{78}{n}-\frac{2}{10}+\frac{78}{n}-\frac{1}{10}+\frac{78}{n}$+$\frac{78}{n}×\frac{1}{2}+\frac{78}{n}×\frac{1}{4}$=1，
解得n=225．
∴抽检车辆总数为225辆．
（2）由频率分布直方图得，时速超过70的车辆有：225×（$\frac{78}{225}×\frac{1}{2}+\frac{78}{225}×\frac{1}{4}$）=58.5，
∴在抽检车辆中任抽取一辆，它超速的概率p=$\frac{58.5}{225}$=0.26．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题要认真审题，注意频率直方图的性质和等比数列、等差数列的性质的合理运用．