Question

（本小题满分12分）

已知数列中，，，且．

（1）设，求是的通项公式；

（2）求数列的通项公式；

（3）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

（3）证明三项构成等差中项的性质，只要利用等差中项的性质分析可得。

【解析】

试题分析：（1）证明：由题，得，

,．又，，   

所以是首项为1，公比为的等比数列．                              

                                                   

（2）解：由（Ⅰ），，，……,．

将以上各式相加，得．                     

所以当时，                             

上式对显然成立．                                                   

（3）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故． 

由可得，由得  ，     ①       

．于是．                                 

另一方面，

，．

由①可得．

所以对任意的，是与的等差中项． 

考点：数列的通项公式

点评：解决的关键是对于数列的公式的熟练运用，等比数列和累加法思想的运用，属于中档题。易错点是对于公比的讨论容易忽略。