题目内容

已知向量=（，），=（，-），曲线•=1上一点P到点F（5，0）的距离为11，Q为PF 的中点，O为坐标原点，则||等于（ ）
A．2.5
B．1.5或9.5
C．9.5
D．3或9.5
【答案】分析：根据向量数量积的坐标运算公式，可得曲线=1对应的图形是双曲线，得到F（5，0）恰好是双曲线的右焦点．然后设双曲线的左焦点为F'（-5，0），连接PF'、OQ，结合双曲线的定义和三角形的中位线定理，可以计算出O、Q两点的距离．
解答：解：∵向量=（，），=（，-），
∴=+•（-）=
∴曲线=1就是
对应的图形是双曲线，a2=16，b2=9
∴a=4，b=3，
可得点F（5，0）恰好是双曲线的右焦点，
设双曲线的左焦点为F'（-5，0），连接PF'、OQ
∵OQ是△PFF'的中位线，|PF-PF'|=2a=8
∴当点P在双曲线左支上时，||=PF'=（PF-8）=1.5
当点P在双曲线右支上时，||=PF'=（PF+8）=9.5
选B
点评：本题以向量的数量积运算为载体，着重考查了圆锥曲线的定义和三角形中位线定理等知识点，属于中档题．
练习册系列答案
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已知向量
a
=（
3
2
，-
3
2
），
b
=（
1
2
，
3
2
），且存在实数x和y，使向量
m
=
a
+（x2-3）•
b
，
n
=-y
a
+x
b
，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的关系式，并求其单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在正数M，使得对任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤M成立？若存在求出M；若不存在，说明理由．
（2013•惠州一模）已知向量
a
=(-1，1)，
b
=(3，m)，
a
∥(
a
+
b
)，则m=（　　）
已知向量a=(
3
，1)，b=(0，1)，c=(k，
3
)，若
a
+2
b
与
c
垂直，则k=（　　）
已知向量
a 
=（sinx，2
3
cosx），
b 
=（2sinx，sinx），设f(x)=
a 
 • 
b 
-1，
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若x∈[ 0 ，  
π
2
 ]，求f（x）的值域；
（3）若f（x）的图象按
m 
=（t，0）作长度最短的平移后，其图象关于原点对称，求
m 
的坐标．
已知向量
a
=（sinβ，1），
b
=（2，-1）且
a
⊥
b
，则sinβ等于
1
2
1
2
．

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