Question

已知函数f（x）=ax--（a+1）lnx（a＜1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若0＜a＜，试证对区间[1，e]上的任意x₁、x₂，总有成立|f（x₁）-f（x₂）|．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求导函数，对a分类讨论，利用导数的正负，即可求得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）确定函数在区间[1，e]上的最值，化简即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：f′（x）=，x＞0
∴当0＜a＜1时，令f′（x）＞0得x＞1+，令f′（x）＜0得0＜x＜1+，
此时f（x）的增区间为（1+，+∞），减区间为（0，1+）；
当a=0时，f′（x）=-＜0，f（x）在定义域上递减；
当a＜0时，令f′（x）＞0得0＜x＜1+，令f′（x）＜0得x＞1+，
此时f（x）的减区间为（1+，+∞），增区间为（0，1+）；
（Ⅱ）证明：由已知，a∈（0，1），由（Ⅰ）知，此时f（x）的减区间为（0，1+），
又∈（e，+∞），1+＞e
∴f（x）在[1，e]上递减，最大值为f（1）=a-，最小值为f（e）=ae--a-1，
所以对任意x₁、x₂，总有|f（x₁）-f（x₂）|＜f（1）-f（e）=（2-e）a+1＜（2-e）•+1=
即|f（x₁）-f（x₂）|＜．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，属于中档题．