Question

已知函数f(x)=，x∈［1，+∞)

(1)当a=时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈［1，+∞］，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)当a=时，f(x)=x++2，x∈［1，+∞) 设x2>x1≥1，则 f(x2)－f(x1)=x2+=(x2－x1)+ =(x2－x1)(1－) ∵x2>x1≥1，∴x2－x1>0，1－>0 则f(x2)>f(x1) 可知f(x)在［1，+∞)上是增函数. ∴f(x)在区间［1，+∞］上的最小值为f(1)=. (2)在区间［1，+∞］上， f(x)=>0恒成立x2+2x+a>0恒成立 设y=x2+2x+a，x∈［1，+∞) 由y=(x+1)2+a－1可知其在［1，+∞)上是增函数， 当x=1时，ymin=3+a 于是当且仅当ymin=3+a>0时函数f(x)>0恒成立. 故a>－3.