Question

8．如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M₁、N₁，求证：FM⊥FN．

Answer 1

分析 由抛物线的定义可得：|MF|=|MM₁|，|NF|=|NN₁|，可得∠MFM₁=∠MM₁F，∠NFN₁=∠NN₁F．利用MM₁∥NN₁，可得$∠FM{M}_{1}+∠FN{N}_{1}=18{0}^{°}$，即可证明．

解答 证明：由抛物线的定义可得：|MF|=|MM₁|，|NF|=|NN₁|，
∴∠MFM₁=∠MM₁F，∠NFN₁=∠NN₁F，
∵MM₁∥NN₁，
∴$∠FM{M}_{1}+∠FN{N}_{1}=18{0}^{°}$，
∴∠MFM₁+∠NFN₁=$\frac{1}{2}（18{0}^{°}-∠FM{M}_{1}）$+$\frac{1}{2}（18{0}^{°}-∠FN{N}_{1}）$=180°-90°=90°，
∴FM⊥FN．

点评 本题考查了抛物线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．