Question

13．判断下列函数的单调性．
（1）y=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-2x-3}}$；
（2）y=x²+1+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行判断即可．

解答 解：（1）由x²-2x-3＞0得x＞3或x＜-1，
设t=x²-2x-3．则y=$\frac{1}{\sqrt{t}}$，则当x＞3时，t=x²-2x-3为增函数，y=$\sqrt{t}$为增函数，y=$\frac{1}{\sqrt{t}}$为减函数，此时函数y=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-2x-3}}$为减函数；
当x＜-1时，t=x²-2x-3为减函数，y=$\sqrt{t}$为减函数，y=$\frac{1}{\sqrt{t}}$为增函数，此时函数y=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-2x-3}}$为增函数；
（2）设t=x²+1，则函数等价为y=t+$\frac{1}{t}$
∵t=x²+1≥1，y=t+$\frac{1}{t}$在[1，+∞）上为增函数，
∴当x≥0时，t≥1，此时函数t=x²+1为增函数，y=t+$\frac{1}{t}$在[1，+∞）上为增函数，此时y=x²+1+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$为增函数．
当x≤0时，t≥1，此时函数t=x²+1为减函数，y=t+$\frac{1}{t}$在[1，+∞）上为增函数，此时y=x²+1+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$为减函数．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．