Question

如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2，
(Ⅰ)求点A到平面MBC的距离；
(Ⅱ)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。

Answer 1

解：(Ⅰ)取CD中点O，连OB，OM， 则OB=OM=，OB⊥CD，MO⊥CD， 又平面MCD⊥平面BCD， 则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB， MO∥平面ABC，M，O到平面ABC的距离相等． 作OH⊥BC于H，连MH，则MH⊥BC， 求得，， 设点A到平面MBC的距离为d， 由得， 即，解得。 (Ⅱ)延长AM、BO相交于E，连CE、DE， CE是平面ACM与平面BCD的交线， 由(Ⅰ)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形， 作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC， ∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为θ， 因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°， ，， 则所求二面角的正弦值为。