Question

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=，点E，F分别是PC，PA的中点，求二面角A-BE-F的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：以BP所在直线为z轴，BC所在直线y轴，建立空间直角坐标系，求出平面BEF的一个法向量，
平面ABE的一个法向量，利用求出二面角A-BE-F的余弦值．
解答：解：如图，以BP所在直线为z轴，
BC所在直线y轴，建立空间直角坐标系，
则，
∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC，
又AC⊥CB，∴AC⊥平面PBC，
∴AC⊥PC，∴EF⊥PC，
又BE⊥PC，∴PC⊥平面BEF．
而，
所以平面BEF的一个法向量，（4分）
设平面ABE的一个法向量，
则，则x：y：z=1：-1：1
取x=1，则平面AEF的一个法向量（8分）
∴，
∴二面角A-BE-F的平面角的余弦值为（10分）
点评：本题考查空间线面关系、二面角的度量，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．