Question

已知函数y=f(x)对任意x，yÎR均有f(x)＋f(y)=f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，．

(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；

(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值．

Answer 1

答案：略
解析：

抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用． 解：(1)令x=y=0，f(0)=0，令x=－y可得 f(－x)=－f(x)，在R上任取，则， ． ∵，∴． 又∵x＞0时，f(x)＜0，∴， 即． 由定义可知f(x)在R上为单调递减函数． (2)∵f(x)在R上是减函数． ∴f(x)在[－3，3]上也是减函数． ∴f(－3)最大，f(3)最小． f(3)=f(2)＋f(1)=f(1)＋f(1)＋f(1) ． ∴f(－3)=―f(3)=2． 即f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2．

提示：

①证明函数的单调性，必须用定义严格证明，不能用特殊值去检验，判断函数的最值，往往从单调性入手． ②对于本题所给的抽象函数的性质f(x＋y)=f(x)＋f(y)，可先找到它的一个原型函数f(x)=kx，又，可知，进而可以帮助我们快速解题．