题目内容
已知三个锐角A、B、C成等差数列且sinA、sinB、sinC成等比数列．求证：A=B=C．分析：先根据A、B、C成等差数列，求得B，再根据sinA、sinB、sinC成等比数列，得即（
）2=（sinA）•sin（120°-A），化简整理即可求得sin（2A-30°）进而求得A和C都是60°，原式得证．
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解答：证明：∵三个锐角A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C
∵A+B+C=180°
∴B=60°，C=120°-A，
∵sinA、sinB、sinC成等比数列，即（
）2=（sinA）•sin（120°-A），
化简，得
sin2A-
cos2A=
，
∴sin（2A-30°）=1，因为a为锐角，所以2A-30°=90°，A=60°，则C=60°，
∴A=B=C．
∴2B=A+C
∵A+B+C=180°
∴B=60°，C=120°-A，
∵sinA、sinB、sinC成等比数列，即（
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化简，得
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∴sin（2A-30°）=1，因为a为锐角，所以2A-30°=90°，A=60°，则C=60°，
∴A=B=C．
点评：本题主要考查了等差数列和等比数列在解三角形中的应用．等差中项和等比中项的利用是解本题的关键．
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