题目内容
求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的方程.
活动：学生阅读题目,理解题意,相互交流或讨论,教师引导学生考虑解题的方法,注意总结,因为条件与圆心有关系,因此可设圆的标准方程,利用圆心在直线2x-y-3=0上,同时也在线段AB的垂直平分线上,由两直线的交点得出圆心坐标,再由两点间的距离公式得出圆的半径,从而得到方程.
解:方法一:设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2,由已知条件得
解得
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
方法二:因为圆过点A(5,2)和点B(3,-2),所以圆心在线段AB的垂直平分线上,线段AB的垂直平分线方程为y=-
(x-4).设所求圆的圆心C的坐标为(a,b),则有
解得
所以圆心C(2,1),r=|CA|=
.
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
点评:本题介绍了几何法求圆的标准方程,利用圆心在弦的垂直平分线上或者利用两圆相切时连心线过切点,可得圆心满足的一条直线方程,结合其他条件可确定圆心,由两点间的距离公式得出圆的半径,从而得到圆的标准方程.其实求圆的标准方程,就是求圆的圆心和半径,有时借助于弦心距、圆半径之间的关系计算,可大大简化计算的过程与难度.如果用待定系数法求圆的方程,则需要三个独立的条件,“选标准,定参数”是解题的基本方法,其中选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方程形式,进而确定其中三个参数.
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