Question

设函数f(x)=x-2+

1

x-4

的图象为c₁，c₁关于点A（2，1）对称的图象为c₂，c₂对应的函数为g（x）．
（1）求g（x）的表达式；
（2）解不等式logag(x)≤loga

5

2

(a＞0，a≠1)．

Answer 1

分析：（1）设出函数图象上的任意点的坐标，利用对称性求出对称点的坐标，代入已知方程，即可求出所求对称的函数的解析式．
（2）直接转化不等式，通过a的范围讨论大于1与a大于0小于1时，不等式的等价形式，然后求解即可．

解答：解：（1）设函数y=g（x）的图象上任意一点为（x，y），
则关于A（2，1）的对称点为（4-x，2-y），
又（4-x，2-y）在f(x)=x-2+

1

x-4

的图象上，
所以，2-y=（4-x）-2+

1

(4-x)-4

=x+

1

x

，
即g（x） 的表达式为g（x）=x+

1

x

，（x≠0）．
（2）原不等式化为loga(x+

1

x

)≤loga

5

2

，
当1＜a时，有

x+ 1 x ＞0 x+ 1 x ≤ 5 2

，
解得

1

2

≤x≤2，
当0＜a＜1时，有

x+ 1 x ＞0 x+ 1 x ≥ 5 2

，解得0＜x≤

1

2

或x＞2，
综上当a＞1时，不等式的解集为{x|

1

2

≤x≤2}，
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|0＜x≤

1

2

或x＞2}．

点评：本题考查函数的图象的对称性，函数的解析式的求法，对数不等式的解法，分类讨论思想的应用，考查计算能力．