Question

若直线y=-x+m与曲线y=只有一个公共点，则m的取值范围是（ ）
A．-1≤m＜2
B．-≤m≤2
C．-2≤m＜2或m=5
D．-≤m≤2或m=5

Answer 1

【答案】分析：根据曲线方程的特征，发现曲线表示在x轴上方的图象，画出图形，根据图形上直线的三个特殊位置，当已知直线位于直线l₁位置时，把已知直线的解析式代入椭圆方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由题意可知根的判别式等于0即可求出此时对应的m的值；当已知直线位于直线l₂及直线l₃的位置时，分别求出对应的m的值，写出满足题意得m的范围，综上，得到所有满足题意得m的取值范围．
解答：解：根据曲线y=，得到5-x²≥0，解得：-2≤x≤2；y≥0，
画出曲线的图象，为椭圆在x轴上边的一部分，如图所示：
当直线y=-x+m在直线l₁的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，
把直线y=-x+m代入椭圆方程得：5x²-8mx+4m²-20=0，得到△=0，
即64m²-20（4m²-20）=0，化简得：m²=25，解得m=5或m=-5（舍去），
则m=5时，直线与曲线只有一个公共点；
当直线y=-x+m在直线l₂位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时m=2，
当直线y=-x+m在直线l3位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时m=-2，
则当-2≤m＜2时，直线与曲线只有一个公共点，
综上，满足题意得m的范围是-2≤m＜2或m=5．
故选D
点评：此题考查了直线与曲线的位置关系．根据曲线方程得出曲线表示在x轴上方的图象，进而画出图形是解本题的关键，同时本题还考查了数形结合的思想及分类讨论的思想，培养了学生发现问题，分析问题及解决问题的能力．