Question

已知定义在R上的函数f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x²-x，且对任意的x满足f（x-1）=Mf（x）（常数M≠0），则函数f（x）在区间[5，7]上的最大值是

1. A.
   A、2M⁴
2. B.
   
3. C.
   2M⁶
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由题设条件，可先根据对任意的x满足f（x-1）=Mf（x）（常数M≠0）及当x∈[-1，1]时，f（x）=x²-x，解出函数f（x）在区间[5，7]上的解析式，再由所得的解析式根据二次函数的性质解出函数在区间[5，7]上的最大值即可选出正确选项
解答：由题意对任意的x满足f（x-1）=Mf（x）（常数M≠0），
∴任取x∈[5，7]，则f（x）==…=
此时有x-6∈[-1，1]，又定义在R上的函数f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x²-x，
∴f（x）====
当x=5时，函数f（x）在区间[5，7]上取到最大值是
故选D
点评：本题考查二次函数的最值及函数恒成立的关系，解题的关键是由题设条件解出要求最值的区间上的函数解析式，从而研究函数的最值，本题考查了转化的思想及最值的求法，二次函数的最值常用配方法求最值．